Question

矩形ABCO的面積為10，OA比OC大3，E為BC的中點，以OE為直徑的⊙O′交x軸于D，DF⊥AE于F．
（1）求OA、OC的長．
（2）求DF長；
（3）P為邊BC上一動點，設△ABP的面積為x，△OPC的面積為y，求y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．
（4）直線BC上是否存在點Q，使∠AQO=90°？若存在，求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設OC=x，則OA=x+3，
由題意得：x（x+3）=10，
即（x-2）（x+5）=0，
解得：x=2，x=-5（舍去），
∴OA=5，OC=2；

（2）∵E為BC的中點，得到D為AD中點，且BC=5，AB=2，
∴AD=BE=2.5，根據勾股定理得：AE==，
∵矩形ABCD，∴BC∥AD，
∴∠BEA=∠EAD，又∠B=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△DFA，
∴=，
則DF=；

（3）∵S_矩形ABCD=S_△AED，
∴S_△ABP+S_△OCP=S_矩形ABCD，即x+y=5，
則y=5-x（0＜x＜5）；

（4）存在．畫出圖形，如圖所示：
當AQ⊥QO時，∠AQB+∠CQD=90°，
∵∠AQB+∠BQA=90°，
∴∠CQD=∠BAQ，
又∠B=∠DCQ=90°，
∴△ABQ∽△QCD，∴=，設BQ=a，則QC=5-a，
∴=，即（a-1）（a-4）=0，
解得：a=1或a=4，
當BQ=a=1時，點Q坐標為（-4，2）；
當BQ=a=4時，點Q坐標為（-1，2），
綜上，Q坐標為（-1，2）或（-4，2）．
分析：（1）設出OC的長為x，表示出OA=x+3，根據矩形的面積公式列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出OA和OC的長；
（2）由E為BC的中點，得到點D為AD中點，在直角三角形ABE中，根據勾股定理求出AE的長，然后利用兩對角相等證明△ABE∽△DFA，根據相似三角形的對應邊成比例即可求出DF的長；
（3）由矩形的面積等于三角形AED面積的2倍，得到三角形ABP的面積與三角形OCP的面積之和為5，即可列出y關于x的函數關系式，進而求出x的取值范圍；
（4）存在．根據題意畫出圖形，由AQ與QD垂直得到角AQB與角CQD互余，又角AQB與角BAQ互余，根據同角的余角相等得到角CQD與角BAQ相等，又角B與角DCQ相等都等于直角，所以得到△ABQ與QCD兩三角形相似，設BQ=a，則QC=5-a，根據相似三角形對應邊成比例列出關于a的方程，求出a的值即可得到點Q的坐標．
點評：此題考查了同學們利用三角形相似的判斷與性質、直角三角形的性質以及一元二次方程的應用等知識解決問題的能力，有利于培養同學們的發散思維能力．