Question

【題目】平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關系．
（1）如圖1，若AB∥CD，點P在AB、CD外部，則有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D．得∠BPD=∠B﹣∠D．將點P移到AB、CD內部，如圖2，以上結論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數量關系？請證明你的結論；


（2）在如圖2中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉一定角度交直線CD于點Q，如圖3，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數量關系？（不需證明）；

（3）根據（2）的結論求如圖4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：不成立，結論是∠BPD=∠B+∠D．

延長BP交CD于點E，

∵AB∥CD，

∴∠B=∠BED，

又∵∠BPD=∠BED+∠D，

∴∠BPD=∠B+∠D；

（2）解：結論：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．

連接QP并延長，

∵∠BPE是△BPQ的外角，∠DPE是△PDQ的外角，

∴∠BPE=∠B+∠BQE，∠DPE=∠D+∠DQP，

∴∠BPE+∠DPE=∠B+∠D+∠BQE+∠DQP，即∠BPD=∠BQD+∠B+∠D；

（3）解：由（2）的結論得：∠AFG=∠B+∠E．∠AGF=∠C+∠D．

又∵∠A+∠AFG+∠AGF=180°

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．

（或由（2）的結論得：∠AGB=∠A+∠B+∠E且∠AGB=∠CGD，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．

【解析】本題主要考查了平行線性質，三角形外角性質，四邊形的內角和定理等知識點的應用，根據三角形外交性質均可得出答案.

【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行線的性質和三角形的內角和外角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．