Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，過點A作⊙O的切線MA，P為直線MA上一動點，以點P為圓心，PA為半徑作⊙P，交⊙O于點C，連接PC、OP、BC．

（1）知識探究（如圖1）：

①判斷直線PC與⊙O的位置關系，請證明你的結論；

②判斷直線OP與BC的位置關系，請證明你的結論．

（2）知識運用（如圖2）：

當PA＞OA時，直線PC交AB的延長線于點D，若BD=2AB，求tan∠ABC的值．

Answer 1

（1）①PC與⊙O相切．

證明：如圖1，連接OC，

在△PAO和△PCO中，

，

∴△PAO≌△PCO，

∴∠PAO=∠PCO，

∵PA是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，

∴∠PAO=∠PCO=90°，

∴PC與⊙O相切．

②OP∥BC．

證明：∵△PAO≌△PCO，

∴∠POA=∠POC，

∴∠B=∠POA，

∴OP∥BC．

（2）解：如圖2，

∵BD=2AB，

∴BD=4OB，AD=6OA，

∴，

∵OP∥BC，

∴，

∴PD=5PC，

設PA=PC=R，OA=r，

∴AD=6r，PD=5R，

∵PA²+AD²=PD²，

∴R²+（6r）²=（5R）²

解得：R=r，

∵tan∠ABC=tan∠POA=，

∴tan∠ABC═==．