Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于點C，BE⊥CD于E，連接AC，BC．

（1）求證：BC平分∠ABE；

（2）若⊙O的半徑為3，cosA＝，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）根據切線的性質得OC⊥DE，則可判斷OC∥BE，根據平行線的性質得∠OCB＝∠CBE，加上∠OCB＝∠CBO，所以∠OBC＝∠CBE；

（2）由已知數據可求出AC，BC的長，易證△BEC∽△BCA，由相似三角形的性質即可求出CE的長．

（1）證明：∵CD是⊙O的切線，

∴OC⊥DE，

而BE⊥DE，

∴OC∥BE，

∴∠OCB＝∠CBE，

而OB＝OC，

∴∠OCB＝∠CBO，

∴∠OBC＝∠CBE，

即BC平分∠ABE；

（2）∵⊙O的半徑為3，

∴AB＝6，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵cosA＝，

∴＝，

∴AC＝2，

∴BC＝＝2，

∵∠ABC＝∠ECB，∠ACB＝∠BEC＝90°，

∴△BEC∽△BCA，

∴＝，

即＝，

∴CE＝．