Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，點P是直徑AB上的一點，（不與A，B重合），過點P作AB的垂線交BC的延長線于點Q.

（1）點D在線段PQ上，且DQ=DC.求證：CD是⊙O的切線；
（2）若sinQ=，BP=6，AP=，求QC的長.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

試題分析：（1）連結OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根據QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，則∠1+∠2=90°，再利用平角的定義得到∠DCO=90°，然后根據切線的判定定理得到CD為⊙O的切線；
（2）連結AC，由AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°，根據余弦的定義得cosB=，可計算出BC=，在Rt△BPQ中，利用余弦的定義得cosB=，可計算出BQ=10，然后利用QC=BQ-BC進行計算即可．
試題解析：證明：連接，
∵，
∴.
∵，

∴.
∵，
∴.
∴.
∴. 
∴，
∴
∵是⊙的半徑，
∴是⊙的切線.
（2）連接，
在中，，
∴，
∵是⊙的直徑，
∴.
在中，
∴.
∴.
考點: 1.切線的判定；2.解直角三角形．