Question

【題目】如圖①，在△ABC中，點P為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉，若點B，P在直線a的異側，BM⊥直線a于點M.CN⊥直線a于點N，連接PM，PN.

(1)延長MP交CN于點E(如圖②)．

①求證：△BPM≌△CPE；

②求證：PM＝PN；

(2)若直線a繞點A旋轉到圖③的位置時，點B，P在直線a的同側，其它條件不變，此時PM＝PN還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

(3)若直線a繞點A旋轉到與BC邊平行的位置時，其它條件不變，請直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時PM＝PN還成立嗎？不必說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ①見解析；②見解析;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

（1）①根據平行線的性質證得∠MBP=∠ECP再根據BP=CP，∠BPM=∠CPE即可得到；

②由△BPM≌△CPE，得到PM=PE則PM=ME，而在Rt△MNE中，PN=ME，即可得到PM=PN；

（2）證明方法與②相同；

（3）四邊形MBCN是矩形，只要證明三個角是直角即可；

（1）證明：①如圖2：

∵BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，

∴∠BMA=∠CNM=90°，

∴BM∥CN，

∴∠MBP=∠ECP，

又∵P為BC邊中點，

∴BP=CP，

又∵∠BPM=∠CPE，

∴△BPM≌△CPE，

②∵△BPM≌△CPE，

∴PM=PE.

∴PM=ME，

∴在Rt△MNE中，PN=ME，

∴PM=PN．

（2）解：成立，如圖3．

證明：延長MP與NC的延長線相交于點E，

∵BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，

∴∠BMN=∠CNM=90°.

∴∠BMN+∠CNM=180°，

∴BM∥CN.

∴∠MBP=∠ECP，

又∵P為BC中點，

∴BP=CP，

又∵∠BPM=∠CPE，

在△BPM和△CPE中，

，

∴△BPM≌△CPE，

∴PM=PE，

∴PM=ME，

則Rt△MNE中，PN=ME.

∴PM=PN．

（3）解：如圖4，四邊形BMNC是矩形，

理由：∵MN∥BC，BM⊥AM，CN⊥MN，

∴∠AMB=∠ANC=90°，∠AMB+∠CBM=180°，

∴∠CBM=∠AMB=∠CNA=90°，

∴四邊形BMNC是矩形．