Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，請問點(diǎn)D是不是線段AC的黃金分割點(diǎn)．請說明理由．

Answer 1

分析：首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角，即可求得∠ABC與∠C的度數(shù)，從而證得△ABD和△BCD都是等腰三角形，以及△ABC∽△BDC，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，以及等量代換，即可得到：

AC

AD

=

AD

CD

，即AD²=AC•CD，即D是AC的黃金分割點(diǎn)．

解答：解：D是AC的黃金分割點(diǎn)．理由如下：
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=

180°-36°

2

=72°．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=

1

2

∠ABC=36°．
∴在△BDC中，∠BDC=180°-∠2-∠C=72°，
∴∠C=∠BDC，
∴BC=BD．
∵∠A=∠1，
∴AD=BC．
∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴

AB

BD

=

BC

CD

，
又∵AB=AC，AD=BC=BD，
∴

AC

AD

=

AD

CD

，
∴AD²=AC•CD，即D是AC的黃金分割點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，黃金分割點(diǎn)的定義，正確證明△ABC∽△BDC是關(guān)鍵．