Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC與∠ACD的平分線交于點A1，則∠A1= ______ ；∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點A2，得∠A2；…；∠An-1BC與∠An-1CD的平分線相交于點An，要使∠An的度數為整數，則n的值最大為 ______ ．

Answer 1

【答案】 32 6

【解析】由三角形的外角性質得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，

∵∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點A1，

∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，

∴∠A1+∠A1BC= (∠A+∠ABC)= ∠A+∠A1BC，

∴∠A1=∠A=×64°=32°；

∵A1B、A1C分別平分∠ABC和∠ACD，

∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，

而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，

∴∠A=2∠A1，

∴∠A1=∠A，

同理可得∠A1=2∠A2，

∴∠A2=∠A，

∴∠A=2n∠An，

∴∠An=()n∠A=，

∵∠An的度數為整數，

∵n=6.

故答案為：32°，6.