Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸， 軸分別交于點A、B，拋物線經過點A和點B，與x軸的另一個交點為C，動點D從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向O點運動，同時動點E從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向A點運動，設運動的時間為t秒，0﹤t﹤5.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當t為何值時，以A、D、E為頂點的三角形與△AOB相似；

（3）當△ADE為等腰三角形時，求t的值；

（4）拋物線上是否存在一點F，使得以A、B、D、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出F點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為；

（2）t的值為或；

（3）t的值為或或；

（4）符合條件的點F存在，共有兩個（4，8），，-8）.

【解析】（1）由B、C兩點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線的解析式；（2）利用△ADE∽△AOB和△AED∽△AOB即可求出t的值；（3）過E作EH⊥x軸于點H，過D作DM⊥AB于點M即可求出t的值；（4）分當AD為邊時，當AD為對角線時符合條件的點F的坐標.

解：(1)A（6,0），B（0,8），依題意知，解得，

∴.

(2)∵ A（6,0），B（0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t，AE=10-2t，

①當△ADE∽△AOB時， ，∴，∴；

②當△AED∽△AOB時， ，∴，∴；

綜上所述，t的值為或.

(3) ①當AD=AE時，t=10-2t，∴；

②當AE=DE時，過E作EH⊥x軸于點H，則AD=2AH，由△AEH∽△ABO得，AH=，∴，∴；

③當AD=DE時，過D作DM⊥AB于點M，則AE=2AM，由△AMD∽△AOB得，AM=，∴，∴；

綜上所述，t的值為或或.

(4) ①當AD為邊時，則BF∥x軸，∴，求得x=4，∴F（4，8）；

②當AD為對角線時，則，∴，解得，∵x﹥0，∴，∴.

綜上所述，符合條件的點F存在，共有兩個（4，8），，-8）.

“點睛”本題考查二次函數綜合題、相似三角形等知識，解題的關鍵是學會待定系數法確定函數解析式，學會分類討論，用方程的思想解決問題，屬于中考壓軸題．