Question

【題目】如圖：△ABC是⊙O的內接三角形，∠ACB=45°，∠AOC=150°，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D．

（1）求證：CD=CB；
（2）如果⊙O的半徑為 ，求AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OB，則∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=OBA=45°，

∵∠AOC=150°，OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC=15°，

∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=60°，

∴△OBC是等邊三角形，

∴∠BOC=∠OBC=60°，

∴∠CBD=180°﹣∠OBA﹣∠OBC=75°，

∵CD是⊙O的切線，

∴OC⊥CD，

∴∠D=360°﹣∠OBD﹣∠BOC﹣∠OCD=360°﹣（60°+75°）﹣60°﹣90°=75°，

∴∠CBD=∠D，

∴CB=CD

（2）解：∵∠AOB=2∠ACB=90°，OA=OB= ，

∴AB= =2．

【解析】（1）首先連接OB，則∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，由∠AOC=150°，易得△OBC是等邊三角形，又由過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，易求得∠CBD=∠D=75°，繼而證得結論；（2）由（1）可得△AOB是等腰直角三角形，又由⊙O的半徑為 ，即可求得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的外接圓與外心的相關知識，掌握過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心，以及對切線的性質定理的理解，了解切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．