Question

已知△ABC，
（1）如圖1，若D點是△ABC內任一點，BD、CD分別為∠ABC、∠ACB的角平分線． 則∠D、∠A的關系為______．
（2）若D點是△ABC外一點，位置如圖2所示．BD、CD分別為∠FBC、∠ECB的角平分線． 則∠D、∠A的關系為______．
（3）若D點是△ABC外一點，位置如圖3所示．BD、CD分別為∠ABC、∠ECA的角平分線． 則∠D、∠A的關系為______．

Answer 1

解：（1）：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，
∴∠BDC=90°-∠A，即∠D=90°-∠A．

（2）：∵BD、CD分別是∠CBE、∠BCF的平分線
∴∠DBC=∠EBC，∠BCD=∠BCF，
∵∠CBE、∠BCF是△ABC的兩個外角
∴∠CBE+∠BCF=360°-（180°-∠A）=180°+∠A
∴∠DBC+∠BCD=（∠EBC+∠BCD）=（180°+∠A）=90°+∠A，
在△DBC中∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD）=180°-（90°+∠A）=90°-∠A，即∠D=90°-∠A．

（3）∵BD、CD分別為∠ABC、∠ECA的角平分線，
∴∠1=∠DBC=∠ABC，∠2=∠DCE=（∠A+∠ABC），
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE=∠A+∠ABC，
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴∠D=∠DCE-∠DBC
=∠DCE-∠1
=∠ACE-∠ABC
=（∠A+∠ABC）-∠ABC
=∠A．
故答案為：∠D=90°-∠A；∠D=90°-∠A；∠D=∠A．
分析：（1）先根據角平分線的性質求出∠DBC、∠DCB與∠A的關系，再根據三角形內角和定理求解即可；
（2）先根據BD、CD分別是∠CBE、∠BCF的平分線可知∠DBC=∠EBC，∠BCD=∠BCF，再由∠CBE、∠BCF是△ABC的兩個外角得出∠CBE+∠BCF=360°-（180°-∠A）=180°+∠A，故∠DBC+∠BCD=（∠EBC+∠BCD）=（180°+∠A）=90°+∠A，根據在△DBC中∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD）即可得出結論；
（3）先根據BD、CD分別為∠ABC、∠ECA的角平分線可知∠1=∠DBC=∠ABC，∠2=∠DCE，再由∠DCE是△BCD的外角得出∠DCE=∠D+∠DBE，再根據∠ACE是△ABC的外角即可得出∠ACE=∠A+∠ABC由此即可得出結論．
點評：本題考查的是三角形外角的性質及三角形內角和定理，熟知三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內角的和是解答此題的關鍵．