Question

【題目】如圖，直線l經過⊙O的圓心O，且與⊙O交于A、B兩點，點C在⊙O上，且∠AOC＝30°，點P是直線l上的一個動點(與圓心O不重合)，直線CP與⊙O相交于另一點Q，如果QP＝QO，則∠OCP＝ ．

Answer 1

【答案】20或40或100

【解析】試題分析：解：①根據題意，畫出圖（1），

在△QOC中，OC=OQ，∴∠OQC=∠OCP，

在△OPQ中，QP=QO，∴∠QOP=∠QPO，

又∵∠AOC=30°，∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°，

在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP=180°，

整理得，3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°．

②當P在線段OA的延長線上（如圖2）

∵OC=OQ，∴∠OQP=（180°-∠QOC）×①，

∵OQ=PQ，∴∠OPQ=（180°-∠OQP）×②，

在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③，

把①②代入③得：60°+∠QOC=∠OQP，

∵∠OQP=∠QCO，∴∠QOC+2∠OQP=∠QOC+2（60°+∠QOC）=180°，

∴∠QOC=20°，則∠OQP=80°∴∠OCP=100°；

③當P在線段OA的反向延長線上（如圖3），

∵OC=OQ，∴∠OCP=∠OQC=（180°-∠COQ）×①，

∵OQ=PQ，∴∠P=（180°-∠OQP）×②，

∵∠AOC=30°，∴∠COQ+∠POQ=150°③，

∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④，①②③④聯立得∠P=10°，

∴∠OCP=180°-150°-10°=20°．

故答案為：40°、20°、100°．