Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點P是線段AD上一動點（不與與點D重合），PO的延長線交BC于Q點．

（1）求證：四邊形PBQD為平行四邊形．

（2）若AB＝6cm，AD＝8cm，P從點A出發．以1cm/秒的速度向點D勻速運動．設點P運動時間為t秒，問四邊形PBQD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）點P運動時間為秒時，四邊形PBQD是菱形．

【解析】

（1）依據矩形的性質和平行線的性質，通過全等三角形的判定定理判定△POD≌△QOB，所以OP=OQ，則四邊形PBQD的對角線互相平分，故四邊形PBQD為平行四邊形．
（2）點P從點A出發運動t秒時，AP=tcm，PD=（4-t）cm．當四邊形PBQD是菱形時，PB=PD=（4-t）cm．在直角△ABP中，根據勾股定理得AP2+AB2=PB2，即t2+32=（4-t）2，由此可以求得t的值．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠PDO＝∠QBO，

在△POD和△QOB中，

∴△POD≌△QOB（ASA），

∴OP＝OQ；

又∵OB＝OD

∴四邊形PBQD為平行四邊形；

（2）答：能成為菱形；

證明：t秒后AP＝t，PD＝8﹣t，

若四邊形PBQD是菱形，

∴PD＝BP＝8﹣t，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，

在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2＝BP2，

即62+t2＝（8﹣t）2，

解得：t＝．

即點P運動時間為秒時，四邊形PBQD是菱形．