Question

【題目】如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘數”.

（1）試分析28是否為“神秘數”；

（2）下面是兩個同學演算后的發現，請選擇一個“發現”，判斷真、假，并說明理由．

①小能發現：兩個連續偶數2k＋2和2k(其中k取非負整數)構造的“神秘數”也是4的倍數．

②小仁發現：2016是“神秘數”．

Answer 1

【答案】（1）28是“神秘數”（2）①是4的倍數，且是奇數倍②2016不是“神秘數”

【解析】

（1）根據題意設未知數x，列出對應方程x2－(x－2)2＝28，求解即可.

（2）根據小能的發現列式：(2k＋2)2－(2k)2化簡，觀察化簡后的式子是否為4的倍數即可檢驗真假；根據小仁的發現列式：y2－(y－2)2＝2 016求解，根據所得解即可檢驗真假.

(1)若28都是“神秘數”，設28是由x和x－2兩數的平方差得到的

則x2－(x－2)2＝28，解得：x＝8，

∴x－2＝6，

即28＝82－62，28是“神秘數”

(2)① (2k＋2)2－(2k)2＝(2k＋2－2k)(2k＋2＋2k)＝4(2k＋1)，

∴由2k＋2和2k構造的“神秘數”是4的倍數，且是奇數倍

或②設2 016是由y和y－2兩數的平方差得到的，

則y2－(y－2)2＝2 016，

解得：y＝505，不是偶數，

∴2 016不是“神秘數”.