Question

12．在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC邊上不同于B、C的一動點，過P作PQ⊥AB，垂足為Q，連接AP．
（1）試說明不論點P在BC邊上何處時，都有△PBQ與△ABC相似；
（2）若AC=3，BC=4，設BP長為x，請用含x的代數式表示PQ=$\frac{3}{5}$x；BQ=$\frac{4}{5}$x；當BP為何值時，△AQP面積最大，并求出最大值；
（3）在Rt△ABC中，兩條直角邊BC、AC滿足關系式BC=kAC，是否存在一個k的值，使Rt△AQP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP全等，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據相似三角形的判定定理證明即可；
（2）利用勾股定理求出AB，根據相似三角形的性質列出比例式求出PQ、BQ，根據三角形的面積公式求出△AQP面積，根據二次函數的性質解答即可；
（3）根據全等三角形的對應邊相等和勾股定理計算即可．

解答 解：（1）不論點P在BC邊上何處時，都有
∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△PBQ∽△ABC；
（2）∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵△PBQ與△ABC，
∴$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{PB}{AB}$，即$\frac{PQ}{3}$=$\frac{BQ}{4}$=$\frac{x}{5}$，
∴PQ=$\frac{3}{5}$x，BQ=$\frac{4}{5}$x；
S_△APQ=$\frac{1}{2}$×PQ×AQ=$\frac{1}{2}$×（5-$\frac{4}{5}$x）×$\frac{3}{5}$x
=-$\frac{6}{25}$x²+$\frac{3}{2}$x
=-（x-$\frac{25}{8}$）²+$\frac{75}{32}$，
則當BP=$\frac{25}{8}$時，△AQP面積最大，最大值為$\frac{75}{32}$；
（3）存在．
∵Rt△AQP≌Rt△ACP，
∴AQ=AC，
又Rt△AQP≌Rt△BQP，
∴AQ=QB，
∴AQ=QB=AC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得 BC²=AB²-AC²
即BC²=（2AC）²-AC²，
則BC²=3AC²，
∴BC=$\sqrt{3}$AC，
∴k=$\sqrt{3}$時，Rt△AQP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP全等．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質、全等三角形的性質以及二次函數的性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理、靈活運用配方法把二次函數的一般式化為頂點式、掌握二次函數的性質是解題的關鍵．