Question

【題目】請認真閱讀下面的數學探究，并完成所提出的問題．

（1）探究1：如圖1，在邊長為的等邊三角形中，是邊上任意一點，連接，將繞點按順時針方向旋轉至處，連接，求面積的最小值．

（2）探究2：如圖2，若是腰長為的等腰直角三角形，，（1）中的其他條件不變，請求出此時面積的最小值．

（3）探究3：如圖3，在中，，，，是邊上任意一點，連接，將繞點按順時針方向旋轉至處，、、三點共線，連接，求的面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）過點作于點，可以求出的面積，根據是等邊三角形，可以得出，所以，當點與點重合時，最小，即可求出的面積的最小值為．

（2）過點作于點，可以求得的面積，易知，所以，當點與點重合時，最小，即可求出的面積的最小值為．

（3）由已知條件可證是等邊三角形，所當點與點重合時，最小，即可求得的面積的最小值．

解：（1）如圖，過點作于點．

∵是邊長為的等邊三角形，

∴，∴，

∴．

由旋轉的性質可知，，，

∴是等邊三角形．

∵是等邊三角形，∴，

∴．

∵當點與點重合時，最小，

∴的面積的最小值為．

（2）如圖，過點作于點．

∵是腰長為的等腰直角三角形，

∴，∴，．

由旋轉的性質可知，，，

∴是等腰直角三角形．

∵是等腰直角三角形，

∴，∴．

∵當點與點重合時，最小，

∴的面積的最小值為．

（3）∵在中，，，，

∴，．

由旋轉的性質可知，，，

∴是等邊三角形．

∵當點與點重合時，最小，

∴的面積的最小值為．