Question

【題目】[發現]如圖∠ACB=∠ADB=90°，那么點D在經過A，B，C三點的圓上（如圖①）

[思考]如圖②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（點C，D在AB的同側），那么點D還在經過A， B，C三點的圓上嗎？

我們知道，如果點D不在經過A，B，C三點的圓上，那么點D要么在圓O外，要么在圓O內，以下該同學的想法說明了點D不在圓O外。

請結合圖④證明點D也不在⊙O內.

[結論]綜上可得結論：如圖②，如果∠ACB=∠ADB=a（點C，D在AB的同側），那么點D在經過A，B，C三點的圓上，即：點A、B、C、D四點共圓。

[應用]利用上述結論解決問題：

如圖⑤，已知△ABC中，∠C=90°，將△ACB繞點A順時針旋轉一個角度得△ADE，連接BE CD，延長CD交BE于點F，

（1）求證：點B、C、A、F四點共圓；

（2）求證：BF=EF.

圖⑤

Answer 1

【答案】【思考】證明見解析；【應用】（1證明見解析；（2）證明見解析

【解析】試題分析：【思考】假設點D在⊙O內，利用圓周角定理及三角形外角的性質，可證得與條件相矛盾的結論，從而證得點D不在⊙O內；

[應用]

（1）由旋轉的性質可得∠ACD=∠ABE，故B、C、A、F四點共圓，

（2）由圓內接四邊形的性質得∠BCA+∠BFA=180°即可證明．

【思考】

【證】如圖，假設點D在⊙O內，延長AD交⊙O于點E，連接BE；則∠AEB=∠ACB

∵∠ADB是△DBE的一個外角

∴∠ADB＞∠AEB

∴∠ADB＞∠ACB

這與條件∠ACB=∠ADB矛盾

∴點D不在⊙O內

【應用】【證】（1）∵AC=AD，AB=AE，

∴∠ACD=∠ADC，∠ABE=∠AEB，

∵∠CAB=∠DAE，

∴∠CAD=∠BAE，

∵2∠ACD+∠CAD=180°，2∠ABE+∠BAE=180°，

∴∠ACD=∠ABE，

∴B、C、A、F四點共圓，

（2）∵B、C、A、F四點共圓，

∴∠BFA+∠BCA=180°，

∵∠ACB=90°，∴∠BFA=90°，

∴AF⊥BE，

∵AB=AE，

∴BF=EF．