Question

如圖，已知△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點F在⊙O上，且滿足=，

   過點C作⊙O的切線交AB的延長線于D點，交AF的延長線于E點．

  （1）求證：AE⊥DE；

  （2）若tan∠CBA=，AE=3，求AF的長．

    

 

Answer 1

（1）證明：連接OC，

              ∵OC=OA，

              ∴∠BAC=∠OCA，

              ∵=，

              ∴∠BAC=∠EAC，

              ∴∠EAC=∠OCA，

              ∴OC∥AE，                3分

              ∵DE切⊙O于點C，

              ∴OC⊥DE，

              ∴AE⊥DE；         6分                                     

                                              

     （2）解：∵AB是⊙O的直徑，

              ∴△ABC是直角三角形，

              ∵tan∠CBA=，

              ∴∠CBA=60°，

              ∴∠BAC=∠EAC=30°，

              ∵△AEC為直角三角形，AE=3，

              ∴AC=2，                          9分

              連接OF，

              ∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，

              ∴△OAF為等邊三角形，

              ∴AF=OA=AB，

              在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，

              ∴BC=2，（直接給出AF=2不扣分）

              ∴AB=4，

              ∴AF=2．                               12分