Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，過B作BC⊥AB交⊙O于C，過C作⊙O的切線，交AB的延長線于點D，E為AD的中點，過E作EF//BC交DC的延長線于點F，連接AF并延長BC的延長線于點G
（1）求證：FC=FG；
（2）若BC=4，CG=6，求AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵EF//BC，BC⊥AB，

∴EF⊥AB，

∵E為AD中點，

∴AF=DF，

∴∠A=∠D，

∵BC⊥AD，

∴∠ABC=∠CBD=90°，

∴∠A+∠G=∠D+∠DCB=90°，

∵∠FCG=∠BCD，

∴∠G=∠FCG，

∴FC=FG；

（2）解：連接AC，

∵∠ABC=90°，

∴∠ACB+∠CAB=90°，

∵DF為切線，

∴∠ACD=90°，

∴∠ACB+∠DCB=90°，

∴∠CAB=∠BCD，

∵∠G=∠FCG=∠BCD，

∴∠CAB=∠G，

∵∠ABC=∠ABG，

∴△ABC∽△GBA，

∴ = ，

∴AB2=BCGB=4×（4+6）=40，

∴AB= =2

【解析】（1）求出EF⊥AB，根據線段垂直平分線性質得出AF=DF，求出∠A=∠D，根據三角形內角和定理求出∠G=∠FCG，即可得出答案；（2）連接AC，求出∠G=∠CAD，根據相似三角形的判定得出△ABC∽△GBA，得出比例式，打擾求出即可．
【考點精析】利用勾股定理的概念和切線的性質定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．