Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于兩點A（﹣4，0）和B（1，0），與y軸交于點C（0，2），動點D沿△ABC的邊AB以每秒2個單位長度的速度由起點A向終點B運動，過點D作x軸的垂線，交△ABC的另一邊于點E，將△ADE沿DE折疊，使點A落在點F處，設點D的運動時間為t秒．

（1）求拋物線的解析式和對稱軸；

（2）是否存在某一時刻t，使得△EFC為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；

（3）設四邊形DECO的面積為s，求s關于t的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1） ，對稱軸為：直線x=﹣；（2）t=或；（3）．

【解析】試題分析：（1）把A（﹣4，0），B（1，0），點C（0，2）即可得到結論；

（2）由題意得AD=2t，DF=AD=2t，OF=4﹣4t，由于直線AC的解析式為： ，得到E（2t﹣4，t），①當∠EFC=90°，則△DEF∽△OFC，根據相似三角形的性質得到結論；②當∠FEC=90°，根據等腰直角三角形的性質得到結論；③當∠ACF=90°，根據勾股定理得到結論；

（3）求得直線BC的解析式為：y=﹣2x+2，當D在y軸的左側時，當D在y軸的右側時，如圖2，根據梯形的面積公式即可得到結論．

試題解析：解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0），點C（0，2）代入得： ，解得： ，∴拋物線的解析式為： ，對稱軸為：直線x=﹣；

（2）存在，∵AD=2t，∴DF=AD=2t，∴OF=4﹣4t，∴D（2t﹣4，0），∵直線AC的解析式為： ，∴E（2t﹣4，t），∵△EFC為直角三角形，分三種情況討論：

①當∠EFC=90°，則△DEF∽△OFC，∴ ，即，解得：t=；

②當∠FEC=90°，∴∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴DE=AF，即t=2t，∴t=0，（舍去），③當∠ACF=90°，則AC2+CF2=AF2，即（42+22）+[22+（4t﹣4）2]=（4t）2，解得：t=，∴存在某一時刻t，使得△EFC為直角三角形，此時，t=或；

（3）∵B（1，0），C（0，2），∴直線BC的解析式為：y=﹣2x+2，當D在y軸的左側時，S=（DE+OC）OD=（t+2）（4﹣2t）=﹣t2+4 （0＜t＜2）；

當D在y軸的右側時，如圖2，∵OD=4t﹣4，DE=﹣8t+10，S=（DE+OC）OD=（﹣8t+10+2）（4t﹣4），即（2＜t＜）．

綜上所述：