Question

【題目】如圖1，直線1：y＝﹣x+1與x軸、y軸分別交于點B、點E，拋物線L：y＝ax2+bx+c經過點B、點A（﹣3，0）和點C（0，﹣3），并與直線l交于另一點D．

（1）求拋物線L的解析式；

（2）點P為x軸上一動點

①如圖2，過點P作x軸的垂線，與直線1交于點M，與拋物線L交于點N．當點P在點A、點B之間運動時，求四邊形AMBN面積的最大值；

②連接AD，AC，CP，當∠PCA＝∠ADB時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）①S四邊形AMBN最大值為 ；②P的坐標：P1 ，P2（﹣15，0）．

【解析】

（1）先求出B的坐標，再將A、B、C坐標代入y＝ax2+bx+c列方程組，然后求解，即可求出拋物線的解析式；

（2）①根據S四邊形AMBN＝ABMN＝＝﹣2（x+）2+，所以當x＝﹣時，S四邊形AMBN最大值為；

②先聯立方程組．求出D點的坐標，兩種情況討論：Ⅰ．當點P在點A的右邊，∠PCA＝∠ADB時，△PAC∽△ABD；Ⅱ．當點P在點A的左邊，∠PCA＝∠ADB時，記此時的點P為P2，則有∠P2CA＝∠P1CA．

（1）∵y＝﹣x+1，

∴B（1，0），

將A（﹣3，0）、C（0，﹣3），B（1，0）代入y＝ax2+bx+c，

，

∴

∴拋物線L的解析式：y＝x2+2x﹣3；

（2）設P（x，0）．

①S四邊形AMBN＝ABMN

＝

＝﹣2（x+）2+，

∴當x＝﹣時，S四邊形AMBN最大值為；

②由，得，，

∴D（﹣4，5），

∵y＝﹣x+1，

∴E（0，1），B（1，0），

∴OB＝OE，

∴∠OBD＝45°．

∴BD＝．

∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），

∴OA＝OC，AC＝，AB＝4．

∴∠OAC＝45°，∴∠OBD＝∠OAC．

Ⅰ．當點P在點A的右邊，∠PCA＝∠ADB時，△PAC∽△ABD．

∴，

∴，

∴，

∴P1

Ⅱ．當點P在點A的左邊，∠PCA＝∠ADB時，記此時的點P為P2，則有∠P2CA＝∠P1CA．

過點A作x軸的垂線，交P2C于點K，則∠CAK＝∠CAP1，又AC公共邊，

∴△CAK≌△CAP1（ASA）

∴AK＝AP1＝，

∴K（﹣3，﹣），

∴直線CK：，

∴P2（﹣15，0）．

P的坐標：P1，P2（﹣15，0）．