Question

如圖，直線l的解析式為y=-

4

3

x+4，它與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，平行于直線l的直線m從原點O出發，沿x軸的正方向以每秒1個單位長度的速度運動，它與x軸、y軸分別相交于M、N兩點，運動時間為t秒（0＜t≤3）
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）以MN為對角線作矩形OMPN，記△MPN和△OAB重合部分的面積為S，試探究S與t之間的函數關系；
（3）當S=2時，是否存在點R，使△RNM∽△AOB？若存在，求出R的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）當y=0時，0=-

4

3

x+4
解得x=3，
即A（3，0），
當x=0時，y=4
即B（0，4）；

（2）Ⅰ當點P在直線AB左邊時，
∵矩形OMPN，
∴NP=OM=t
∵m∥l
∴△OMN∽△OAB
∴

OM

OA

=

ON

OB

，
∴

t

3

=

ON

4

，
∴PM=ON=

4

3

t，
∴s₁=

1

2

PN•PM=

1

2

•t•

4

3

t=

2

3

t²（0＜t≤

3

2

），

Ⅱ當點P在直線AB右邊時，
∵OM=t，
∴AM=3-t，
∴ME=

4

3

（3-t），
PE=

4

3

t-

4

3

（3-t）=

8

3

t-4，
PF=

3

4

-（

8

3

t-4）=2t-3，
∴s₂=

1

2

PN•PM-

1

2

PE•PF，
=

1

2

t•

4

3

t-

1

2

（

8

3

t-4）（2t-3）=-2t²+8t-6（

3

2

＜t≤3），
綜上所述：s₁=

2

3

t²（0＜t≤

3

2

），或s₂=-2t²+8t-6（

3

2

＜t≤3）；

（3）當s₁=

2

3

t²=2時，t=

3

＞

3

2

，舍去，
當s₂=-2t²+8t-6=2時，t₁=t₂=2，
此時M（2，0），N（0，

8

3

），
∴存在R₁和R₂使△RNM∽△AOB，
∴∠RNM=∠AOB=90°，∠R₁MN=∠ABO=∠MNO，
∴R₁M∥y軸，
∴R₁H₁=OM=2，
∴NH₁=2×

3

4

=

3

2

，
∴OH₁=

8

3

+

3

2

=

25

6

，
∴R₁（2，

25

6

），
∴R₂H₂=R₁H₁=2，NH₂=NH₁=

3

2

，
∴OH₂=

8

3

-

3

2

=

7

6

，
∴R₂（-2，

7

6

），
綜上所述：R₁（2，

25

6

）或R₂（-2，

7

6

）．