Question

如圖，正方形ABCD邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，當M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直．
（1）求證：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）若MN的延長線交正方形外角平分線CP于點P，當點M在BC邊上如圖位置時，請你在AB邊上找到一點H，使得AH=MC，連接HM，進而判斷AM與PM的大小關(guān)系，并說明理由；
（3）若BM=1，則梯形ABCN的面積為（     ）；設(shè)BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當M點運動到什么位置時，四邊形ABCN的面積最大，并求出最大面積；
（4）當M點運動到什么位置時Rt△ABM∽Rt△AMN，求此時BM的值．

Answer 1

解：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠AMB+∠BAM=90°，又∴AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，∴∠AMB+∠NMC=90°，
∴∠BAM=∠NMC，∴Rt_△ABM∽Rt_△MCN；
（2）AM=PM．證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°，∴AH=MC，
∵BH=BM，
∴∠BMH=∠BHM=45°，
∠AHM=135°，∵AM⊥MN，∴∠2+∠3+∠BMH=90°，
∵∠2+∠3=45°，∴∠1+∠2=∠BHM=45°，∴∠1=∠3，
∵CP是正方形外角平分線，∴∠PCN=45°，
∴∠PCM=90°+45°=135°，
∴∠AHM=∠MCP，在△AHM和△MCP中，
∵，
∴△AHM∽△MCP（ASA），
∴AM=PM；
（3）解：∵正方形ABCD邊長為4，BM=1，
∴CM=4-1=3，
∵Rt_△ABM∽Rt_△MCN，∴，即，
∴CN=，
∴S_梯形ABCN=（AB+CN）BC=×（4+）×4=；
∴正方形ABCD邊長為4，BM=x，∴CM=4﹣x，
∴Rt_△ABM∽Rt_△MCN，∴，即，∴CN=，
∴y=S_梯形ABCN=（AB+CN）BC=×（4+）×4=﹣x²+2x+8=﹣（x﹣2）²+10，
∵當x=2時，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為10；
（4）解：∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使Rt_△ABM∽Rt_△AMN，必須有，即，
∵Rt_△ABM∽Rt_△MCN，
∴，∴BM=MC，
∴當點M運動到BC的中點時，Rt_△ABM∽Rt_△AMN，此時BM=2
．