Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是邊AB上的高．

（1）求證：△ABC∽△CBD；
（2）如果AC=4，BC=3，求BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：∵CD⊥AB，

∴∠BDC=90°．

∴∠A+∠ACD=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠DCB+∠ACD=90°．

∴∠A=∠DCB．

又∵∠ACB=∠BDC=90°，

∴△ABC∽△CBD

（2）解：∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴AB=5，

∴CD= ，

∵CD⊥AB，

∴BD= = =

【解析】（1）根據直角三角形的銳角關系可證得∠A=∠DCB，再由∠ACB=∠BDC=90°，可證明結論.
（2）在Rt△ABC中由勾股定理可求得AB的長，再由三角形的面積公式可求得CD的長，再在Rt△BCD中由勾股定理可求得BD的長.
【考點精析】利用三角形的內角和外角和勾股定理的概念對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．