Question

如圖，一次函數y=-2x的圖象與二次函數y=-x²+3x圖象的對稱軸交于點B．已知點P是二次函數y=-x²+3x圖象在y軸右側部分上的一個動點，將直線y=-2x沿y軸向上平移，分別交x軸、y軸于C、D兩點．若以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，則點P的坐標為

（

1

2

，

5

4

），（2，2），（

11

4

，

11

16

），（

13

5

，

26

25

）

．

Answer 1

分析：設D（0，2a），則直線CD解析式為y=-2x+2a，可知C（a，0），以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，分為∠CDP=90°和∠DCP=90°兩種情況，分別求P點坐標即可．

解答：解：設D（0，2a），則直線CD解析式為y=-2x+2a，
∴C（a，0），
∴OC：OD=1：2，
∴OD=2a，OC=a，
根據勾股定理可得：CD=

OC2+OD2

=

5

a．
∵以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，
①當∠CDP=90°時，若PD：DC=OC：OD=1：2，則PD=

5

2

a，
設P的橫坐標是x，則P點縱坐標是-x²+3x，
根據題意得：

x2+(-x2+3x-2a)2=( 5 2 a)2 ( 5 a)2+( 5 2 a)2=(-x2+3x)2+(x-a)2

，
解得：

x= 1 2 a= 1 2

，
則P的坐標是：（

1

2

，

5

4

），
②當∠CDP=90°時，若DC：PD=OC：OD=1：2，同理可以求得P（2，2），
③當∠DCP=90°時，若PC：DC=OC：OD=1：2，則P（

11

4

，

11

16

），
④當∠DCP=90°時，若DC：PD=OC：OD=1：2，則P（

13

5

，

26

25

）．
故答案為：（

1

2

，

5

4

），（2，2），（

11

4

，

11

16

），（

13

5

，

26

25

）．

點評：此題考查了一次函數與二次函數的相交問題、相似三角形的判定與性質、兩點間的距離公式以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數形結合思想的應用．