Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，CN為⊙O的切線，OM⊥AB于點O，分別交AC、CN于D、M兩點．

（1）求證：MD=MC；

（2）若⊙O的半徑為5，AC=4，求MC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）MC=.

【解析】（1）連接OC，利用切線的性質證明即可；

（2）根據相似三角形的判定和性質以及勾股定理解答即可．

（1）連接OC，

∵CN為⊙O的切線，

∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，

∵OM⊥AB，

∴∠OAC+∠ODA=90°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，

∴MD=MC；

（2）由題意可知AB=5×2=10，AC=4，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴BC==2，

∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，

∴△AOD∽△ACB，

∴，即，

可得：OD=2.5，

設MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，

解得：x=，

即MC=．