Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠BAD=60°．動點E、F分別從點B、D同時出發，以1cm/s的速度向點A、C運動，連接AF、CE，取AF、CE的中點G、H，連接GE、FH．設運動的時間為ts（0＜t＜4）．

（1）求證：AF∥CE；

（2）當t為何值時，四邊形EHFG為菱形；

（3）試探究：是否存在某個時刻t，使四邊形EHFG為矩形，若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）t=1，（3）不存在某個時刻t，使四邊形EHFG為矩形．

【解析】

（1）根據菱形的性質得到∠B=∠D，AD=BC，AB∥DC，推出△ADF≌△CBE，根據全等三角形的性質得到∠DFA=∠BEC，根據平行線的判定定理即可得到結論；
（2）過D作DM⊥AB于M，連接GH，EF，推出四邊形AECF是平行四邊形，根據菱形的判定定理即可得到四邊形EGFH是菱形，證得四邊形DMEF是矩形，于是得到ME=DF=t列方程即可得到結論；
（3）不存在，假設存在某個時刻t，使四邊形EHFG為矩形，根據矩形的性質列方程即可得到結果．

（1）證明：∵動點E、F同時運動且速度相等，

∴DF=BE，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠B=∠D，AD=BC，AB∥DC，

在△ADF與△CBE中，

∴△ADF≌△CBE，

∴∠DFA=∠BEC，

∵AB∥DC，

∴∠DFA=∠FAB，

∴∠FAB=∠BEC，

∴AF∥CE；

（2）過D作DM⊥AB于M，連接GH，EF，

∴DF=BE=t，

∵AF∥CE，AB∥CD，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵G、H是AF、CE的中點，

∴GH∥AB，

∵四邊形EGFH是菱形，

∴GH⊥EF，

∴EF⊥AB，∠FEM=90°，

∵DM⊥AB，

∴DM∥EF，

∴四邊形DMEF是矩形，

∴ME=DF=t，

∵AD=4，∠DAB=60°，DM⊥AB，

∴

∴BE=4﹣2﹣t=t，

∴t=1，

（3）不存在，假設存在某個時刻t，使四邊形EHFG為矩形，

∵四邊形EHFG為矩形，

∴EF=GH，

∴EF2=GH2，

即解得t=0，0＜t＜4，

∴與原題設矛盾，

∴不存在某個時刻t，使四邊形EHFG為矩形．