Question

【題目】如下圖所示，直線y＝－x＋3與坐標軸分別交于點A，B，與直線y＝x交于點C，線段OA上的點Q以每秒1個單位的速度從點O出發向點A作勻速運動，運動時間為t秒，連結CQ.

(1)求出點C的坐標；

(2)若△OQC是等腰直角三角形，則t的值為________；

(3)若CQ平分△OAC的面積，求直線CQ對應的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）點C的坐標為(2，2)；（2）t的值為2或4；（3）直線CQ對應的函數表達式為y＝－2x＋6.

【解析】

（1）以和組成二元一次方程組，解此方程組即可求得點C的坐標；

（2）由題意可知，∠COQ是銳角，由此可得若△COQ是等腰直角三角形，存在以下兩種情況：①∠CQO=90°；②∠OCQ=90°；根據兩種情況畫出圖形，結合已知條件分析解答即可求得對應的t的值；

（3）由題意可知，當點Q是線段OA的中點時，CQ平分△OCA的面積，由此結合已知條件求得點線段OA的中點的坐標即可求得此時CQ的解析式了.

(1)由 解得： ，

∴點C的坐標為(2，2)．

(2) 由題意可知，∠COQ是銳角，由此可得若△COQ是等腰直角三角形，存在以下兩種情況：①∠CQO=90°；②∠OCQ=90°；先分別解答如下：

I、如圖①，當∠CQO＝90°，CQ＝OQ時，

∵C(2，2)，

∴OQ＝CQ＝2，解得：t＝2；

II、如圖②，當∠OCQ＝90°，OC＝CQ時，過點C作CM⊥OA于點M，

∵C(2，2)，

∴CM＝OM＝2，

∴QM＝OM＝2，

∴OQ＝4，

∴t＝4.

綜上所述，若△OCQ是等腰直角三角形，則t的值為2或4.

(3)令－x＋3＝0，得x＝6，

∴A(6，0)．

∴點Q的坐標為(3，0)時，CQ平分△OCA的面積．

設直線CQ的函數表達式為y＝kx＋b.

把C(2，2)，Q(3，0)代入y=kx+b得：

，

解得k＝－2，b＝6，

∴當直線CQ平分△OCA的面積時，其對應的函數表達式為y＝－2x＋6.