Question

數學活動課上，老師提出這樣一個問題:如果AB=BC,∠ABC=60°,∠APC=30°,連接

PB，那么PA、PB、PC之間會有怎樣的等量關系呢？

經過思考后，部分同學進行了如下的交流：

小蕾：我將圖形進行了特殊化，讓點P在BA延長線上（如圖1），得到了一個猜想:

PA²+PC²=PB² .

小東：我假設點P在∠ABC的內部，根據題目條件，這個圖形具有“共端點等線段”的特點，可以利用旋轉解決問題，旋轉△PAB 后得到△P′CB ,并且可推出△PBP′ ,△PCP′ 分別是等邊三角形、直角三角形，就能得到猜想和證明方法.

這時老師對同學們說，請大家完成以下問題：

（1）如圖2，點P在∠ABC的內部，

①PA=4，PC=，PB=     .

②用等式表示PA、PB、PC之間的數量關系，并證明.

（2）對于點P的其他位置，是否始終具有②中的結論？若是，請證明；若不是，請舉例說明.

	圖1		圖2

Answer 1

（1）①；……………………………………………………………………………1分

②.   …………………………………………………………2分

證明：作∠PBP′＝∠ABC＝60°，且使BP′＝BP，連接P′C、P′P.  ……………3分

∴∠1＝∠2.

∵AB＝CB，

∴△ABP≌△CBP′.   …………………………4分

∴PA＝P′C，∠A＝∠BCP′.

在四邊形ABCP中，

∵∠ABC＝60°，∠APC＝30°，

∴∠A＋∠BCP＝270°.

∴∠BCP′＋∠BCP＝270°.

∴∠PCP′＝360°－(∠BCP′＋∠BCP)＝90°. ……………………………………5分

∵△PBP′是等邊三角形.

∴PP′＝PB.

在Rt△PCP′中，.……………………………………………6分

∴.

（2）點P在其他位置時，不是始終具有②中猜想的結論，舉例：

     如圖，當點P在CB的延長線上時，

結論為.

（說明：答案不惟一）

……………………………………………………………………………………………7分