Question

（12分）如圖，拋物線y = ax2 + bx + 4與x軸的兩個交點分別為A（－4，0）、B（2，0），與y軸交于點C，頂點為D．E（1，2）為線段BC的中點，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G．

（1）求拋物線的函數解析式，并寫出頂點D的坐標；

（2）在直線EF上求一點H，使△CDH的周長最小，并求出最小周長及H點的坐標；

（3）若點K在x軸上方的拋物線上運動，當K運動到什么位置時，△EFK的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

（1）（－1，）；（2）H（，）；（3）當t =－時，△EFK的面積最大，最大面積為，此時K（－，）．

【解析】

試題分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數的值，進而可用配方法求出其頂點D的坐標；

（2）根據拋物線的解析式可求出C點的坐標，由于CD是定長，若△CDH的周長最小，那么CH+DH的值最小，由于EF垂直平分線段BC，那么B、C關于直線EF對稱，所以BD與EF的交點即為所求的H點；求得直線BC的解析式，然后求出直線EF的解析式；由于E是BC的中點，根據B、C的坐標即可求出E點的坐標；可證△CEG∽△COB，根據相似三角形所得的比例線段即可求出CG、OG的長，由此可求出G點坐標，進而可用待定系數法求出直線EF的解析式，由此得解；

（3）過K作x軸的垂線，交直線EF于N；設出K點的橫坐標，根據拋物線和直線EF的解析式，即可表示出K、N的縱坐標，也就能得到KN的長，以KN為底，F、E橫坐標差的絕對值為高，可求出△KEF的面積，由此可得到關于△KEF的面積與K點橫坐標的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出其面積的最大值及對應的K點坐標．

試題解析：（1）由題意，得 ， 解得，b =－1．

所以拋物線的解析式為，頂點D的坐標為（－1，）．

（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點M．因為EF垂直平分BC，即C關于直線EG的對稱點為B，連結BD交于EF于一點，則這一點為所求點H，使DH + CH最小，即最小為

DH + CH = DH + HB = BD =．而．

∴ △CDH的周長最小值為CD + DR + CH =．

設直線BD的解析式為y = k1x + b，則 ，解得，b1 = 3．

所以直線BD的解析式為y =x + 3．

由于BC = 2，CE ==，Rt△CEG∽△COB，

得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2．5，GO = 1．5．G（0，1．5）．

同理可求得直線EF的解析式為y=x +．

聯立直線BD與EF的方程，解得使△CDH的周長最小的點H（，）．

（3）設K（t，），xF＜t＜xE．過K作x軸的垂線交EF于N．

則 KN = yK－yN =－（t +）=．

所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t2－3t + 5 =－（t +）2 +．

即當t =－時，△EFK的面積最大，最大面積為，此時K（－，）．

考點：二次函數的解析式的確定；軸對稱的性質；相似三角形的判定和性質．

考點分析： 考點1：二次函數 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數，a≠0），那么y叫做x 的二次函數。
①所謂二次函數就是說自變量最高次數是2;
②二次函數（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數，自變量x 的取值范圍是全體實數，b和c可以是任意實數，a是不等于0的實數，因為a=0時，變為y=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數，若b=0，則y=c是一個常數函數。
③二次函數（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯系，如果將變量y換成一個常數，那么這個二次函數就是一個一元二次函數。 二次函數的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數，a≠0）；
（2）頂點式： （a，h，k是常數，a≠0）
（3）當拋物線與x軸有交點時，即對應二次好方程有實根x₁和x₂存在時，根據二次三項式的分解因式，二次函數可轉化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。

二次函數的一般形式的結構特征：
①函數的關系式是整式；
②自變量的最高次數是2；
③二次項系數不等于零。 二次函數的判定：
二次函數的一般形式中等號右邊是關于自變量x的二次三項式；
當b=0，c=0時，y=ax²是特殊的二次函數；
判斷一個函數是不是二次函數，在關系式是整式的前提下，如果把關系式化簡整理（去括號、合并同類項）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個函數就是二次函數，否則就不是。 試題屬性

• 題型：
• 難度：
• 考核：
• 年級：