Question

【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,分別過B,C向經過點A的直線EF作垂線,垂足為E,F.

(1)如圖1,當EF與斜邊BC不相交時,試說明EF=BE+CF;

(2)如圖2,當EF與斜邊BC相交時,其他條件不變,寫出EF,BE,CF之間的數量關系,并說明理由;

(3)如圖3,猜想EF,BE,CF之間又存在怎樣的數量關系,寫出猜想,說明理由.

Answer 1

【答案】（1）理由見解析；（2）EF=BE-CF.理由見解析.

【解析】試題分析：(1)、根據題意得出△ABE和△CAF全等，從而得出AE=CF，BE=AF，從而得出答案；(2)、根據題意得出△ABE和△CAF全等，從而得出AE=CF，BE=AF，根據EF=AF-AE得出答案；(3)、根據題意得出△ABE和△CAF全等，從而得出AE=CF，BE=AF，根據EF=AE-AF得出答案．

試題解析：(1)因為BE⊥EA,CF⊥AF,所以∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°.

所以∠EAB+∠CAF=90°,∠EBA+∠EAB=90°.所以∠CAF=∠EBA.

在△ABE和△CAF中,∠BEA=∠AFC,∠EBA=∠FAC,AB=AC,所以△BEA≌△AFC(AAS).

所以EA=FC,BE=AF.所以EF=EA+AF=BE+CF.

(2)EF=BE-CF.理由是:因為BE⊥EA,CF⊥AF,所以∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°.

所以∠EAB+∠CAF=90°,∠ABE+∠EAB=90°.所以∠CAF=∠ABE.

在△ABE和△ACF中,∠EBA=∠FAC,∠BEA=∠CFA,AB=AC,所以△BEA≌△AFC(AAS).

所以EA=FC,BE=AF.因為EF=AF-AE,所以EF=BE-CF.

(3)EF=CF-BE.理由是:因為BE⊥EA,CF⊥AF,所以∠BAC=∠BEA=∠CFA=90°.

所以∠EAB+∠CAF=90°,∠ABE+∠EAB=90°.

所以∠CAF=∠ABE.在△ABE和△ACF中,∠EBA=∠FAC,∠BEA=∠CFA,AB=AC,

所以△BEA≌△AFC(AAS).

所以EA=FC,BE=CF.因為EF=EA-AF,所以EF=CF-BE.