Question

【題目】如圖，雙曲線y＝與直線y＝x交于A、B兩點，點P（a，b）在雙曲線y＝上，且0＜a＜4．

（1）設PB交x軸于點E，若a＝1，求點E的坐標；

（2）連接PA、PB，得到△ABP，若4a＝b，求△ABP的面積．

Answer 1

【答案】（1）點E的坐標為（﹣3，0）；（2）15．

【解析】

（1）解方程組得A（4，1），B（﹣4，﹣1），再利用反比例函數解析式確定P（1，4），則可根據待定系數法求出直線PB的解析式為y＝x+3，從而計算出函數值為0對應的函數值得到點E的坐標；

（2）利用反比例函數圖象上點的坐標特征得到ab＝4，加上b＝4a，則可求出a、b得到P（1，4），連接OP，如圖，由（1）得此時E點坐標為（﹣3，0），接著利用三角形面積公式計算出S△POB＝，由于點A與點B關于原點對稱，所以OA＝OB，所以S△BAP＝2S△OBP．

解：（1）解方程組

得或，

∴A（4，1），B（﹣4，﹣1），

當x＝1時，y＝＝4，則P（1，4），

設直線PB的解析式為y＝mx+n，

把P（1，4），B（﹣4，﹣1）代入得，

解得，

∴直線PB的解析式為y＝x+3，

當y＝0時，x+3＝0，解得x＝﹣3，

∴點E的坐標為（﹣3，0）；

（2）∵點P（a，b）在雙曲線y＝上，

∴ab＝4，

而b＝4a，

∴a4a＝4，解得a＝±1，

∵0＜a＜4．

∴a＝1，

∴P（1，4），

連接OP，如圖，由（1）得此時E點坐標為（﹣3，0），

S△POB＝S△OBE+S△OEP＝×3×1+×3×4＝，

∵點A與點B關于原點對稱，

∴OA＝OB，

∴S△OAP＝S△OBP＝，

∴S△BAP＝2S△OBP＝15．