Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，∠ABC=30°，BC=8，sin∠A= ，BD是AC邊上的中線．求：

（1）△ABC的面積；
（2）∠ABD的余切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，過點C作CE⊥AB與點E，

∴BE=BCcos∠ABC=8× =4 ，

CE=BCsin∠ABC=8× =4，

在Rt△ACE中，∵sin∠A= ，

∴AC= = =4 ，

∴AE= = =8，

則AB=AE+BE=8+4 ，

故S△ABC= ABCE= ×（8+4 ）×4=16+8

（2）解：過點D作DH⊥AB與點H，

∵CE⊥AB，

∴DH∥CE，

又∵D是AC中點，

∴AH=HE= AE=4，DH= CE=2，

∴在Rt△BDH中，cot∠ABD= = =2 +2

【解析】（1）過點C作CE⊥AB與點E，在Rt△BCE中，∵BC=8，∠ABC=30°， 解Rt△BCE得出，BE=BCcos∠ABC，CE=BCsin∠ABC，在Rt△ACE中，由sin∠A的值表示出AC的長，根據勾股定理得出AE的長，從而得出S△ABC；（2）過點D作DH⊥AB與點H，根據平行線的判定得出DH∥CE，再根據中位線得判定得出AH=HE =4，DH =2，在Rt△BDH中，得出cot∠ABD的值。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行線的判定與性質和三角形中位線定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．