Question

【題目】如圖，在△CBD中，CD＝BD，CD⊥BD，BE平分∠CBA交CD于點F，CE⊥BE垂足是E，CE的延長線與BD交于點A．

（1）求證：BF＝AC；

（2）求證：BE是AC的中垂線；

（3）若BD＝2，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）DF＝﹣2+2．

【解析】

（1）欲證明BF＝AC，只要證明△BDF≌△CDA（ASA）即可；

（2）根據角平分線以及垂直的定義可以先證明△ABE≌△CBE，進而可得出結論；

（3）連接AF，只要證明DF＝AD，AF＝CF，設DF＝AD＝x，利用勾股定理構建方程即可解決問題．

（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，

∴∠BDF＝∠ADC＝∠AEB＝90°，

∴∠DBF+∠A＝90°，∠DCA+∠A＝90°，

∴∠DBF＝∠DCA，

∵BD＝CD，

∴△BDF≌△CDA（ASA），

∴BF＝AC；

（2）證明：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE，

∵CE⊥BE，∴∠BEA＝∠BEC＝90°，

又BE=BE，

∴△ABE≌△CBE（ASA），

∴AE＝CE，

∴BE是AC的中垂線；

（3）解：連接AF．

∵△BDF≌△CDA，

∴AD＝DF，設DF＝AD＝x，

∵BE垂直平分AC，BD＝CD＝2，

∴CF＝AF＝2﹣x，

在Rt△ADF中，∵AF2＝DF2+AD2，

∴（2﹣x）2＝x2+x2，

解得x＝﹣2+2或﹣2﹣2（舍棄），

∴DF＝﹣2+2．