Question

（2004•岳陽）Rt△AOB中直角邊OA、OB分別在x軸、y軸的正半軸上，O為坐標原點，以F為圓心的圓與y軸、直線AB分別相切于O、D（如圖），若AD=2，AE=1．
（1）求BD的長度；
（2）求經過A、B兩點的直線的解析式；
（3）求經過E、D、O三點的二次函數的解析式；
（4）判斷（3）中拋物線的頂點是否在直線AB上．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圓的切線的性質，連接DF，可得直角三角形，借助于方程，利用勾股定理求得圓的半徑，利用相似求得BD的長；
（2）根據（1）的結論可得A，B的坐標，利用待定系數法可求得經過A、B兩點的直線的解析式；
（3）首先求得點D的坐標，將點O，E，D的坐標代入二次函數的一般式，解方程組即可；
（4）求得拋物線的頂點坐標，再代入解析式，看是否左右相等即可．
解答：解：（1）設⊙F的半徑為r
連接DF，∴BA⊥DF
∵AD切⊙F于D點
∴AD²=AE•AO即2²=1•（2r+1）
∴r=又Rt△ADF∽Rt△AOB
∴
即
∴AB=5，故BD=3；

（2）顯然A（4，0）、B（0，3）
故設解析式為y=kx+3
將（4，0）代入得AB解析式y=-x+3；

（3）過D作DH⊥AO于H，
∴DH=BO
∵△ABO∽△ADH
∴DH=
又∵DH∥BO
∴，即
∴OH=
∴D點坐標為（）
E點坐標（3，0）
設經過EDO的函數解析式為y=ax²+bx+c．

得
∴所求函數解析式為y=-+；

（4）（3）中的頂點為（，）．
當x=時，代入y=-x+3=-×+3=≠
故（3）的頂點不在直線AB上．
點評：此題考查了二次函數與圓的綜合知識，解題時要注意圓的性質，待定系數法的應用，特別是要注意數形結合思想與方程思想的應用．