Question

【題目】已知二次函數y=（t+1）x2+2（t+2）x+在x=0和x=2時的函數值相等．

（1）求二次函數的解析式；

（2）若一次函數y=kx+6的圖象與二次函數的圖象都經過點A（-3，m），求m和k的值；

（3）設二次函數的圖象與x軸交于點B，C（點B在點C的左側），將二次函數的圖象在點B，C間的部分（含點B和點C）向左平移n（n＞0）個單位后得到的圖象記為G，同時將（2）中得到的直線y=kx+6向上平移n個單位．請結合圖象回答：當平移后的直線與圖象G有公共點時，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）① m=-6，k=4；②

【解析】

（1）把x=0和x=2代入得出關于t的方程，求出t即可；

（2）把A的坐標代入拋物線，即可求出m，把A的坐標代入直線，即可求出k；

（3）求出點B、C間的部分圖象的解析式是y=-（x-3）（x+1），得出拋物線平移后得出的圖象G的解析式是y=-（x-3+n）（x+1+n），-n-1≤x≤3-n，直線平移后的解析式是y=4x+6+n，若兩圖象有一個交點時，得出方程4x+6+n=-（x-3+n）（x+1+n）有兩個相等的實數解，求出判別式△=6n=0，求出的n的值與已知n＞0相矛盾，得出平移后的直線與拋物線有兩個公共點，設兩個臨界的交點為（-n-1，0），（3-n，0），代入直線的解析式，求出n的值，即可得出答案．

（1）解：∵二次函數y=（t+1）x2+2（t+2）x+在x=0和x=2時的函數值相等，

∴代入得：0+0+=4（t+1）+4（t+2）+，

解得：t=-，

∴y=（-+1）x2+2（-+2）x+=-x2+x+，

∴二次函數的解析式是y=-x2+x+．

（2）解：把A（-3，m）代入y=-x2+x+得：m=-×（-3）2-3+=-6，

即A（-3，-6），

代入y=kx+6得：-6=-3k+6，

解得：k=4，

即m=-6，k=4．

（3）解：由題意可知，點B、C間的部分圖象的解析式是y=-x2+x+=-（x2-2x-3）=-（x-3）（x+1），-1≤x≤3，

則拋物線平移后得出的圖象G的解析式是y=-（x-3+n）（x+1+n），-n-1≤x≤3-n，

此時直線平移后的解析式是y=4x+6+n，

如果平移后的直線與平移后的二次函數相切，

則方程4x+6+n=-（x-3+n）（x+1+n）有兩個相等的實數解，

即-x2-（n+3）x-n2-=0有兩個相等的實數解，

判別式△=[-（n+3）]2-4×（-）×（-n2-）=6n=0，

即n=0，

∵與已知n＞0相矛盾，

∴平移后的直線與平移后的拋物線不相切，

∴結合圖象可知，如果平移后的直線與拋物線有公共點，

則兩個臨界的交點為（-n-1，0），（3-n，0），

則0=4（-n-1）+6+n，

n=，

0=4（3-n）+6+n，

n=6，

即n的取值范圍是：≤n≤6．