Question

【題目】如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F，M，N分別為OA，OB，OC，OD的中點，連接EF，FM，MN，NE．

（1）依題意，補全圖形；

（2）求證：四邊形EFMN是矩形；

（3）連接DM，若DM⊥AC于點M，ON=3，求矩形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】(1)補圖見解析;(2)證明見解析;(3) 36

【解析】試題分析：（1）見圖形；（2）根據三角形的中位線定理，先證四邊形EFMN是平行四邊形，再通過對角線相等證明四邊形EFMN是矩形；（3）證△OCD是等邊三角形。

試題解析：（1）解：如圖所示：

（2）證明：∵點E，F分別為OA，OB的中點，∴EF∥AB，EF=AB，

同理：NM∥CD，MN=DC，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AB=DC，AC=BD，

∴EF∥NM，EF=MN，∴四邊形EFMN是平行四邊形，

∵點E，F，M，N分別為OA，OB，OC，OD的中點，∴EO=AO，MO=CO，

在矩形ABCD中，AO=CO=AC，BO=DO=BD，∴EM=EO+MO=AC，

同理可證FN=BD，∴EM=FN，∴四邊形EFMN是矩形．

（3）解：∵DM⊥AC于點M，由（2）MO=CO，∴DO=CD，

在矩形ABCD中，AO=CO=AC，BO=DO=BD，AC=BD，

∴AO=BO=CO=DO，∴△COD是等邊三角形，∴∠ODC=60°，∵MN∥DC，

∴∠FNM=∠ODC=60°，在矩形EFMN中，∠FMN=90°．∴∠NFM=90°﹣∠FNM=30°，

∵NO=3，∴FN=2NO=6，FM=3，MN=3，∵點F，M分別為OB，OC的中點，

∴BC=2FM=6，∴矩形的面積為BCCD=36．