Question

【題目】數學課上，李老師出示了如下框中的題目．

在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC，如圖．試確定線段AE與DB的大小關系，并說明理由．

小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：

（1）特殊情況，探索結論

當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與的DB大小關系．請你直接寫出結論：

AE DB(填“＞”，“＜”或“＝”)．

圖1 圖2

（2）特例啟發，解答題目

解：題目中，AE與DB的大小關系是：AE DB(填“＞”，“＜”或“＝”)．

理由如下：如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F.

(請你完成以下解答過程)

（3）拓展結論，設計新題

在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC．若△ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長(請你直接寫出結果)．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）=，過程見解析；（3）CD的長是1或3．

【解析】試題分析：（1）根據△ABC是等邊三角形，點E為AB的中點，即可得出CE⊥AB，進而得出∠ECB=∠D=∠DEB=30°，即可得出線段AE與DB的大小關系；

（2）首先得出BE=CF，進而得出∠EDB=∠ECB，∠BED=∠FCE，進而利用△DBE≌△EFC即可得出答案；

（3）分兩種情況進行討論，①當E在線段BA的延長線上，D在線段BC的延長線上；②當E在線段AB的延長線上，D在線段CB的延長線上.

試題解析：（1）∵△ABC是等邊三角形，點E為AB的中點，

∴∠ABC=60°，CE⊥AB，

∴AE=BE，

∴∠ECB=∠D=∠DEB=30°，

∴AE=DB，

故答案為：=；

（2） 在等邊△ABC中，

∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，

∴AE=AF=EF，

∴AB-AE=AC-AF，

即BE=CF，

∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，

∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，

∵ED=EC，

∴∠EDB=∠ECB，

∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，

∴∠BED=∠FCE，

∴△DBE≌△EFC(SAS)

∴DB=EF，

∴AE=BD，

故答案為：=；

（3）CD的長是1或3．

參考做法如下：

當E在線段BA的延長線上，D在線段BC的延長線上時，如圖1所示，

過E作EF⊥BD，垂足為F點，可得∠EFB=90°，

∵EC=ED，∴F為CD的中點，即CF=DF=CD，

∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=60°，

∴∠BEF=30°，

∵BE=AB+AE=1+2=3，

∴FB=EB=，

∴CF=FB-BC=，

則CD=2CF=1；

當E在線段AB的延長線上，D在線段CB的延長線上時，如圖2所示，

過E作EF⊥BD，垂足為F點，可得∠EFC=90°，

∵EC=ED，∴F為CD的中點，即CF=DF=CD，

∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=∠EBF=60°，

∴∠BEF=30°，

∵BE=AE-AB=2-1=1，

∴FB=BE=，

∴CF=BC+FB=，

則CD=2CF=3，

綜上，CD的值為1或3．

圖1 圖2