Question

如圖，在一個含30°的三角板ABC中，將三角板沿著AB所在直線翻轉180°得到△ABF，再將三角板繞點C順時針方向旋轉60°得到△DEC，點F在AC上，連接AE．
（1）求證：四邊形ADCE是菱形．
（2）連接BF并延長交AE于G，連接CG．請問：四邊形ABCG是什么特殊平行四邊形？為什么？

Answer 1

分析：（1）需證明△ACD是等邊三角形、△AFC是等邊三角形，即可證明四邊形AFCD是菱形；
（2）可先證四邊形ABCG是平行四邊形，再由∠ABC=90°，可證四邊形ABCG是矩形．

解答：證明：（1）∵三角板ABC中，將三角板沿著AB所在直線翻轉180°得到△ABF，
∴△ABC≌△ABF，且∠BAC=∠BAF=30°，
∴∠FAC=60°，
∴AD=DC=AC，
又∵△ABC≌△EFC，
∴CA=CE，
又∵∠ECF=60°，
∴AC=EC=AE，
∴AD=DC=CE=AE，
∴四邊形ADCE是菱形；

（2）
證明：由（1）可知：△ACD，△AFC是等邊三角形，△ACB≌△AFB，
∴∠EDC=∠BAC=

1

2

∠FAC=30°，且△ABC為直角三角形，
∴BC=

1

2

AC，
∵EC=CB，
∴EC=

1

2

AC，
∴E為AC中點，
∴DE⊥AC，
∴AE=EC，
∵AG∥BC，
∴∠EAG=∠ECB，∠AGE=∠EBC，
∴△AEG≌△CEB，
∴AG=BC，（7分）
∴四邊形ABCG是平行四邊形，
∵∠ABC=90°，
∴四邊形ABCG是矩形．

點評：此題主要考查菱形和矩形的判定，綜合應用等邊三角形的判定、全等三角形的判定等知識是解題的關鍵．