Question

如圖，是一塊含30°（即∠CAB=30°）角的三角板和一個量角器拼在一起，三角板斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN恰好重合，其量角器最外緣的讀數是從N點開始（即N點的讀數為O），現有射線CP繞點C從CA的位置開始按順時針方向以每秒2度的速度旋轉到CB位置，在旋轉過程中，射線CP與量角器的半圓弧交于E．
（1）當旋轉7.5秒時，連接BE，試說明：BE=CE；
（2）填空：①當射線CP經過△ABC的外心時，點E處的讀數是

 

．
②當射線CP經過△ABC的內心時，點E處的讀數是

 

；
③設旋轉x秒后，E點出的讀數為y度，則y與x的函數式是y=

 

．

Answer 1

分析：（1）由于是每次都旋轉2°且CP的旋轉決定著∠ACE和∠ABE，且二者都是從0°開始的，所以：∠ACE=∠ABE，只要證明：∠CBE=∠BCE即可證明BE=CE；
（2）①當射線CP經過△ABC的外心時，CP經過AB的中心且此時有：CO=AO，可以得出∠OCA=∠CAB=30°，即可求出點E處的度數；
②當射線CP經過△ABC的內心時，內心到三邊的距離相等，即CP為∠ACB的角平分線，所以有∠ABE=∠ACE=45°，即可求出點E處的度數；
③由于每次旋轉的度數一樣，所以旋轉x秒后，E點出的讀數為y度，則y與x的函數式是：y=2x．

解答：（1）證明：連接BE，如圖所示：
∵射線CP繞點C從CA的位置開始按順時針方向以每秒2度的速度旋轉
∴當旋轉7.5秒時，∠ACE=7.5×2°=∠ABE=15°
又∵∠CAB=30°，∠CBA=60°，∠ACB=90°
∴∠CBE=75°，∠BCE=90°-15°=75°，即：∠CBE=∠BCE=75°
∴BE=CE．

（2）解：①當射線CP經過△ABC的外心時，CP經過AB的中心且此時有：CO=AO；
∴∠OCA=∠CAB=30°，∠AOE=60°
∴點E處的讀數是120°．
②當射線CP經過△ABC的內心時，即CP為∠ACB的角平分線，
圓周角∠BCE=

1

2

×90°=45°，圓心角為90°，
∴點E處的讀數是90°．
③設旋轉x秒后，E點出的度數為y°，由題意得：
y與x的函數式是：y=180-4x（0＜x≤90）．

點評：解答一次函數的應用問題中，要注意自變量的取值范圍還必須使實際問題有意義，且由每次旋轉的度數相等，由圖得出相等的角，并掌握量角器的用法和對含有30°三角板的運用．