Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝與x軸交于A，C（A在C的左側），點B在拋物線上，其橫坐標為1，連接BC，BO，點F為OB中點．

（1）求直線BC的函數表達式；

（2）若點D為拋物線第四象限上的一個動點，連接BD，CD，點E為x軸上一動點，當△BCD的面積的最大時，求點D的坐標，及|FE﹣DE|的最大值；

（3）如圖2，若點G與點B關于拋物線對稱軸對稱，直線BG與y軸交于點M，點N是線段BG上的一動點，連接NF，MF，當∠NFO＝3∠BNF時，連接CN，將直線BO繞點O旋轉，記旋轉中的直線BO為B′O，直線B′O與直線CN交于點Q，當△OCQ為等腰三角形時，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+；（2）D（，﹣）；|FE﹣DE|的最大值為；（3）點Q的坐標為Q1（，），Q2（，），Q3（﹣，），Q4（+，﹣）．

【解析】

（1）令拋物線y＝0，求出點C的坐標，再令x＝1，求出點B坐標，待定系數法求出直線BC的解析式；

（2）三角形面積最值轉換成求DH的最大值，然后利用二次函數的求最值問題解決點D的坐標，|FEDE|的最大值，可將點D和點F轉換到x軸的同一側，再利用共線時差值最大求出線段長度即可．

（3）找等腰三角形問題，要分類討論，以OC為腰，或以OC為底都可以，利用∠OCN的正切值求出邊之間的比例關系，求出點Q的坐標．

（1）令y＝0，解得x1＝，x2＝，

∴A（，0），B（，0）

當x＝1時，y＝2

∴B（1，2）

設直線BC的解析式為y＝kxb代入點B和C

，

解得

∴直線BC的解析式為y＝;

（2）設點D（m，）

過點D作x軸的平行線，交BC于點H，

則點H（m，﹣m+）

HD＝﹣m+﹣（）＝﹣（m﹣）2+

∴當m＝時，HD取最大值，此時S△BCD的面積取最大值．

D（，）

作D關于x軸的對稱點D′

則D′（，）

連接D′H交x軸于一點E，此時D′E﹣FE最大，即為D′F的長度

∵F為OB的中點

∴F（，）

∴D′F＝

∴|FE﹣DE|的最大值為．

（3）由題意可知M（0，2）

∵∠NFO＝3∠BNF

∴∠FBN＝2∠BNF

作∠FBN的角平分線交x軸于點E

則∠OBE＝∠EBG＝∠OEB＝∠BNF

過點B作x軸的垂線，垂足為點J

則J（1，0）

∵OB＝＝3

∴OE＝3

∴EJ＝2

∵BJ＝2

∴tan∠BEJ＝，

∴tan∠BNF＝，

過點F作MN的垂線，垂足為D

則FD＝，

∴ND＝1

∴N（，2）

連接NC

∵tan∠NCO＝

①當OQ1等于CQ1時，過點Q1作OC的垂線，垂足為I

∵OC＝

∴CI＝

∴Q1I＝

∴Q1（，）

②當OC＝CQ3時，過點Q3作OC的垂線，垂足為K

∵OC＝，∴CQ3＝，

CK＝，Q3K＝

∴Q3（，）

③當OQ2＝OC時，過點Q2作OC的垂線，垂足為P

∵OC＝3，∴OQ2＝3

設PC＝a，則Q2P＝a，OP＝﹣a

根據勾股定理解得a＝

∴Q2（，）

④當Q4在NC的延長線上時，CQ4＝OC

同理可得，Q4（，）

綜上所述：點Q的坐標為Q1（，），Q2（，），Q3（，），Q4（，，）．