Question

【題目】勾股定理是數學史上非常重要的一個定理.早在多年以前，人們就開始對它進行研究，至今已有幾百種證明方法.在歐幾里得編的《原本》中證明勾股定理的方法如下，請同學們仔細閱讀并解答相關問題：如圖，分別以的三邊為邊長，向外作正方形、、.

（1）連接、，求證：

（2）過點作的垂線，交于點，交于點.

①試說明四邊形與正方形的面積相等；

②請直接寫出圖中與正方形的面積相等的四邊形.

（3）由第（2）題可得：正方形的面積正方形的面積_______________的面積，即在中，__________________.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②四邊形與正方形的面積相等；（3）正方形，.

【解析】

（1）根據正方形的性質和三角形全等的判定定理，即可得到結論；

（2）①由得四邊形的面積為的面積的倍，同理正方形的面積為的面積的倍，結合，即可得到結論；

②連接AF，BH，先證ACFHCB（SAS），再類似①題的方法，即可得到結論；

（3）由四邊形與正方形的面積相等，四邊形與正方形的面積相等，即可得到答案．

（1）∵四邊形、四邊形是正方形，

∴∠BAE=∠CAI=90°，AE=AB，AC=AI，

∴∠EAC=∠BAI，

在和中，

∵，

∴（SAS）；

（2）①∵BM⊥AC，

∴，

∴四邊形的面積=的面積的倍，

同理：正方形的面積=的面積的倍，

又，

四邊形與正方形的面積相等；

②四邊形與正方形的面積相等，理由如下：

連接AF，BH，

∵四邊形、四邊形是正方形，

∴AC=HC，BC=FC,∠ACB=∠BCF，即：∠ACF=∠HCB，

∴ACFHCB（SAS），

∵BNHC，

∴四邊形的面積是HCB面積的2倍，

同理：正方形的面積是ACF面積的2倍，

∴四邊形與正方形的面積相等；

（3）由（2）可知：四邊形與正方形的面積相等，四邊形與正方形的面積相等，

∴正方形的面積正方形的面積正方形的面積，

即：．

故答案是：正方形，．