Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c經過A （0，3），B （4，3）兩點，與x軸交于點E，F，以AB為邊作矩形ABCD，其中CD邊經過拋物線的項點M，點P是拋物線上一動點（點P不與點A，B重合），過點P作y軸的平行線1與直線AB交于點G，與直線BD交于點H，連接AF交直線BD于點N．

（1）求該拋物線的解析式以及頂點M的坐標；

（2）當線段PH＝2GH時，求點P的坐標；

（3）在拋物線上是否存在點P，使得以點P，E，N，F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3，頂點M的坐標為（2，﹣1）；（2）點P的坐標為（﹣1，8）或（3，0）；（3）存在點P（2，﹣1）時，使得以點P，E，N，F為頂點的四邊形是平行四邊形．

【解析】

（1）根據拋物線y＝x2+bx+c經過A（0，3），B（4，3）兩點，可以求得該拋物線的解析式，然后化為頂點式，即可得到頂點M的坐標；

（2）根據題意，可以表示出線段PH和GH的長，然后即可得到點P的坐標；

（3）根據題意，畫出相應的圖象，然后利用分類討論的方法即可得到點P的坐標．

解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經過A（0，3），B（4，3）兩點，

∴ 得，

即該拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3，

∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴頂點M的坐標為（2，﹣1）；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，且CD邊經過拋物線的頂點M（2，﹣1），

∴D（0，﹣1），

設直線BD的解析式為y＝kx+b，

∵直線BD經過點B（4，3），D（0，﹣1），

∴ ，

解得，，

∴直線BD的解析式為y＝x﹣1，

∵點P為是拋物線上一動點，

∴設P（a，a2﹣4a+3），則G（a，3），H（a，a﹣1），

∴PH＝|a2﹣4a+3﹣（a﹣1）|＝|a2﹣5a+4|，GH＝|3﹣（a﹣1）|＝|4﹣a|，

∵PH＝2GH，

∴|a2﹣5a+4|＝2|4﹣a|，

解得，a1＝﹣1，a2＝3，a3＝4，

∴P1（﹣1，8），P2（3，0），P3（4，3），

∵點P不與點A，B重合

∴P3（4，3）不符合要求，

∴當線段PH＝2GH時，點P的坐標為P（﹣1，8）或P（3，0）；

（3）當y＝0時，0＝x2﹣4x+3，得x1＝3，x2＝1，

則點E的坐標為（1，0），點F的坐標為（3，0），

∵A（0，3），F（3，0），

∴直線AF的解析式為y＝﹣x+3，

聯立，得 ，

∴N（2，1），

如圖1所示，當點P在直線EF下方時，

∵M（2，﹣1），N（2，1），E（1，0），F（3，0），

∴MN與EF互相垂直平分，

∴當點P在點M的位置時，四邊形PENF是平行四邊形，

此時P（2，﹣1）；

如圖2所示，當點P在點E的左側時，

若四邊形PEFN是平行四邊形，則P（0，1），

∵拋物線經過點A（0，3），

∴P（0，1）不符合實際，舍去；

如圖3所示，當點P在點F的右側時，

若四邊形PFEN是平行四邊形，則P（4，1），

∵拋物線經過點B（4，3），

∴P（4，1）不符合實際，舍去；

綜上所述，存在點P（2，﹣1）時，使得以點P，E，N，F為頂點的四邊形是平行四邊形．