Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，點D為△ABC內的一點，∠ADB=120°，∠ADC=90°，將△ABD繞點A逆時針旋轉60°得△ACE，連接DE．

（1）求證：AD=DE；
（2）求∠DCE的度數；
（3）若BD=1，求AD，CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵將△ABD繞點A逆時針旋轉60°得△ACE

∴△ABD≌△ACE，∠BAC=∠DAE，

∴AD=AE，BD=CE，∠AEC=∠ADB=120°，

∵△ABC為等邊三角形

∴∠BAC=60°

∴∠DAE=60°

∴△ADE為等邊三角形，

∴AD=DE

（2）∠ADC=90°，∠AEC=120°，∠DAE=60°

∴∠DCE=360°﹣∠ADC﹣∠AEC﹣∠DAE=90°

（3）∵△ADE為等邊三角形

∴∠ADE=60°

∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=30°

又∵∠DCE=90°

∴DE=2CE=2BD=2，

∴AD=DE=2

在Rt△DCE中，

【解析】（1）利用旋轉的性質和等邊三角形的性質先判斷出△ADE是等邊三角形即可；（2）利用四邊形的內角和即可求出結論；（3）先求出CD，再用勾股定理即可求出結論．
【考點精析】利用等腰三角形的性質和等邊三角形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．