Question

【題目】定義：底與腰的比是的等腰三角形叫做黃金等腰三角形．
如圖，已知△ABC中，AC=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1 ．

（1）證明：AB2=AA1AC；
（2）探究：△ABC是否為黃金等腰三角形？請說明理由；（提示：此處不妨設AC=1）
（3）應用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1 ， B1A2平分∠A1B1C交AC于A2 ， 作A2B2∥AB交B2 ， B2A3平分∠A2B2C交AC于A3 ， 作A3B3∥AB交BC于B3 ， …，依此規律操作下去，用含a，n的代數式表示An﹣1An ． （n為大于1的整數，直接回答，不必說明理由）

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AC=BC，∠C=36°，

∴∠A=∠ABC=72°，

∵BA1平分∠ABC，

∴∠ABA1=∠ABC=36°，

∴∠C=∠ABA1，

又∵∠A=∠A，

∴△ABC∽△AA1B，

∴=，即AB2=AA1AC；

（2）

解：△ABC是黃金等腰三角形，

理由：由（1）知，AB2=ACAA1，

設AC=1，

∴AB2=AA1，

又由（1）可得：AB=A1B，

∵∠A1BC=∠C=36°，

∴A1B=A1C，

∴AB=A1C，

∴AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=1﹣AB，

∴AB2=1﹣AB，

設AB=x，即x2=1﹣x，

∴x2+x﹣1=0，

解得：x1=，x2=（不合題意舍去），

∴AB=，

又∵AC=1，

∴=，

∴△ABC是黃金等腰三角形；

（3）

解：由（2）得；當AC=a，則AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=a﹣AB=a﹣a=a，

同理可得：A1A2=A1C﹣A1B1=AC﹣AA1﹣A1B1

=a﹣a﹣A1C

=a﹣a﹣[a﹣a]

=a．

故An﹣1An=a．

【解析】