Question

【題目】如圖，已知矩形 OABC，O 為坐標原點，已知 A（4，0）、C（0，2），D 為邊 OA 的中點，連接 BD，M 點與 C 點重合，N 為 x 軸上一點，MN∥BD， 直線 MN 沿著 x 軸向右平移．

(1)當四邊形 MBDN 為菱形時，N 點的坐標是 ；

(2)當 MN 平移到何處時，恰好將四邊形 ODBC 的面積為 1：3 的兩部分？請求出此時直線 MN 的解析式；

(3)在（1）的條件下，在矩形 OABC 的四條邊上，是否存在點 F，連接 DF， 將矩形沿著 DF 所在的直線翻折，使得點 O 恰好落在直線 MN 上，若存在， 求出 F 點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2﹣2，0）或（2+2，0）；（2）y＝x﹣；（3） （0，2﹣2）或（2，2）．

【解析】

(1)由 MN∥BD，BM∥DN，推出四邊形 MNDB 是平行四邊形，當 DN

＝BD＝2時，四邊形 MNDB 是菱形；(2)分兩種情形構建方程即可解決問題；

(3)如圖 1﹣1 中，過 D 作 GD⊥M1N1 交 M2N2 于 H，連接 OG、OH，作線段

OG 的垂直平分線交 OC 于 F，作線段 OH 的垂直平分線交 BC 于點 F′．點 F

與點 F′即為所

（1）如圖 1 中，

在 Rt△ABD 中，∵AD＝AB＝2，

∴BD＝ ＝2，

∵MN∥BD，BM∥DN，

∴四邊形 MNDB 是平行四邊形，

當 DN＝BD＝2時，四邊形 MNDB 是菱形，

∴N（2﹣2，0）或（2+2，0）．

故答案為（2﹣2，0）或（2+2，0）．

(2)如圖 2 中，設 M（m，2）

∵S 四邊形 ODBC＝×（2+4）×2＝6．

∴當直線 MN 經過點點 O 時，S△MCN＝×2×2＝2＝S 四邊形 ODBC，

∵將四邊形 ODBC 的面積為 1：3 的兩部分，

∴m＝，

∴m＝或﹣（舍棄），

此時直線 MN 的解析式為 y＝x+2﹣ ，

或滿足：（4﹣m）2＝ ，解得 m＝，

此時直線 MN 的解析式為 y＝x﹣．

(3)如圖 1﹣1 中，過 D 作 GD⊥M1N1 交 M2N2 于 H，連接 OG、OH，作線段OG 的垂直平分線交 OC 于 F，作線段 OH 的垂直平分線交 BC 于點 F′．點 F 與點 F′即為所求．

由題意可知 G（2﹣，），H（2+，﹣），

線段 OG 的垂直平分線的解析式為 y＝﹣（﹣1）x+2 ﹣2，可得 F（0，2﹣2），

線段 OH 的垂直平分線的解析式為 y＝（+1）x﹣2﹣2，可得 F′（2，2）．