Question

已知關(guān)于x的方程：

x2+a

x-2

-a-1=0有一個(gè)增根為b，另一根為c．二次函數(shù)y=ax²+bx+c+7(-

3

2

≤x≤

3

2

)與x軸交于P和Q兩點(diǎn)．在此二次函數(shù)的圖象上求一點(diǎn)M，使得△PQM面積最大．

Answer 1

分析：方程

x2+a

x-2

-a-1=0可化簡(jiǎn)為x²+a=（a+1）（x-2）．方程

x2+a

x-2

-a-1=0只有x=2時(shí)才有增根，可推出b=2；將x=2代入方程x²+a=（a+1）（x-2）得4+a=0即a=-4，再根據(jù)a的值求出c并確定解析式，再根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式和x的取值范圍確定△PQM面積最大時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：由題意可得b=2，a=-4代入方程得c=-5．
∴二次函數(shù)為y=-4x²+2x+2與x軸的交點(diǎn)為P（-

1

2

，0），Q（1，0），
當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x=-

3

2

或x=

1

4

或x=

3

2

時(shí)，
△PQM的面積可能取最大，
經(jīng)比較可得x=-

3

2

時(shí)，△PQM的面積取最大，
此時(shí)y=-10即點(diǎn)M（-

3

2

，-10），
S△PQM=

15

2

．

點(diǎn)評(píng)：學(xué)會(huì)巧妙地利用分式方程的性質(zhì)來(lái)解決問題，同時(shí)要明確增根問題可按如下步驟進(jìn)行：
①確定增根；
②化分式方程為整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．