Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線與軸的兩個交點分別是、，為頂點．

（1）求、的值和頂點的坐標；

（2）在軸上是否存在點，使得是以為斜邊的直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），，(-1，4)；（2）在y軸上存在點D (0，3)或D (0，1)，使△ACD是以AC為斜邊的直角三角形

【解析】

(1)把A(-3，0)，B(1，0)代入解方程組即可得到結論；
(2)過C作CE⊥y軸于E，根據函數的解析式求得C(-1，4)，得到CE=1，OE=4，設，得到，根據相似三角形的性質即可得到結論．

(1)把A(3,0)、B(1,0)分別代入，

，

解得：，，

則該拋物線的解析式為：，

∵，

所以頂點的坐標為(，)；

故答案為：，，頂點的坐標為(，)；

(2)如圖1，過點作⊥軸于點，

假設在軸上存在滿足條件的點，

設(0，)，則，

∵，

∴，，,，

由∠90得∠1∠290，

又∵∠2∠390，

∴∠3∠1，

又∵∠CED∠DOA90，

∴△∽△，

∴，

則，

變形得，

解得，．

綜合上述：在y軸上存在點(0，3)或(0，1)，使△ACD是以AC為斜邊的直角三角形．