Question

如圖,將矩形沿折疊,使點落在邊上的點處;再將矩形沿折疊,使點落在點處且過點．

（1）求證:四邊形是平行四邊形;
（2）當是多少度時,四邊形為菱形?試說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析;（2）當∠B₁FE=60°時,四邊形EFGB為菱形,理由見解析．

試題分析：（1）由題意,∠B₁FE=∠FEB,結合∠B₁FE=∠BFE,得BE=BF,同理可得FG=BF,即BE=FG,結合BE∥FG,得到四邊形BEFG是平行四邊形;
（2）當∠B₁FE=60°時,四邊形EFGB為菱形,由∠B₁FE=60°,得∠BFE=∠BEF=60°,得到△BEF為等邊三角形,即BE=EF,結合四邊形BEFG是平行四邊形,即可證得．
試題解析：（1）∵A₁D₁∥B₁C₁,
∴∠B₁FE=∠FEB．
又∵∠B₁FE=∠BFE,
∴∠FEB=∠BFE．
∴BE=BF．
同理可得：FG=BF．
∴BE=FG,
又∵BE∥FG,
∴四邊形BEFG是平行四邊形;
（2）當∠B₁FE=60°時,四邊形EFGB為菱形．
理由如下：
∵∠B₁FE=60°,
∴∠BFE=∠BEF=60°,
∴△BEF為等邊三角形,即BE=EF．
∵四邊形BEFG是平行四邊形,BE=EF．
∴四邊形BEFG是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．