Question

已知，拋物線y=x²-1與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．
（1）求點A、B、C三點的坐標；
（2）過點A作AP∥CB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積；
（3）在線段AP上是否存在一點M，使△MBC的周長最小？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當y=0時，x²-1=0，
解得x₁=1，x₂=-1；
∴A點坐標為（-1，0），B點坐標為（1，0）；
當x=0時，y=0²-1=-1，
∴C點坐標為（0，-1）．

（2）∵B（1，0），C（0，-1），
∴直線BC：y=x-1；
設直線AP的解析式為：y=x+h，則有：
-1+h=0，h=1；
則直線AP：y=x+1，
聯立拋物線的解析式有：
，
解得，；
∴P點坐標為（2，3）；
S_{四邊形ACBP}=S_△ABC+S_△ABP=AB•|y_P-y_C|=×2×4=4．

（3）存在．延長CA到點C′，使AC′=AC，過點C′作C′D⊥x軸于點D，
連接BC′，則BC′與AP的交點即為M點．
∵∠PAC=90°，
∴C與C′關于AP對稱．
∵∠C′AD=∠CAO，∠C′DA=∠COA，C′A=CA，
∴△C′DA≌△COA．
∴DA=OA=1，C′D=CO=1，
∴OD=OA+AD=2，
∴C′點坐標為（-2，1）；
∴直線AP與直線BC′的解析式分別為y=x+1、y=-x+；
∴解方程組可得點M的坐標為（，）；
∴在線段AP上存在一點M（，），使△MBC的周長最小．
分析：（1）拋物線的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐標，令x=0，可求得C點的坐標．
（2）易求得直線BC的解析式，由于AP∥CB，則它們的斜率相同，結合點A的坐標，即可得到直線AP的解析式，聯立拋物線的解析式，可求得點P的坐標；已知AB的長，及P、C的坐標，即可求得△ABP、△ABC的面積，兩個三角形的面積和即為所求的四邊形ACBP的面積．
（3）延長CA到C′，使得AC′=AC，此時C、C′關于直線AP對稱，過C′作C′D⊥x軸于D，易得△C′DA≌△COA，得AD=OA，C′D=OC，從而求得點C′的坐標，連接C′B，那么直線C′B與直線AP的交點即為所求的M點，求出直線BC′的解析式，聯立直線AP的解析式，即可得到點M的坐標．
點評：此題主要考查了二次函數圖象與坐標軸交點坐標的求法、函數圖象交點坐標的求法、圖形面積的求法、平面展開-最短路徑等知識，綜合性強，難度較大．